-
תורת הקבוצות הנאיבית
כל מה שרצית לדעת על תורת הקבוצות הנאיבית:תורת הקבוצות הנאיבית הוא שמה של גישה אלמנטרית לתורת הקבוצות, שאותה פיתח גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים, והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה אקסיומטית מדוקדקת (ראו…
-
תורת הקבוצות האקסיומטית
כל מה שרצית לדעת על תורת הקבוצות האקסיומטית:תורת הקבוצות האקסיומטית היא תורה מתמטית המהווה ניסוח אקסיומטי של תורת הקבוצות. אף על פי ששימוש בתורת הקבוצות הנאיבית עדיין רווח במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים מתמטיקאים בהתייחסם לתורת הקבוצות. ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה.…
-
בעיית וייטהד
כל מה שרצית לדעת על בעיית וייטהד:בתורת החבורות, בעיית וייטהד היא השאלה הבאה: האם כל חבורה אבלית A שעבורה מתקיים התנאי Ext 1 ( A , Z ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {Ext} ^{1}(A,\mathbb {Z} )=0} , היא חבורה אבלית חופשית? (הסימון Ext 1 {\displaystyle \ \operatorname {Ext} ^{1}} מתייחס לפונקטור…
-
אקסיומת ההיקפיות
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת ההיקפיות:בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההיקפיות היא אקסיומה במערכת ZF. האקסיומה גורסת כי אם לכל איבר x, הוא שייך לקבוצה הראשונה אם ורק אם הוא שייך לקבוצה השנייה, אז שתי הקבוצות שוות. משמעות האקסיומה היא שיחס השייכות מגדיר חד משמעי את הקבוצה. בפרט, האקסיומה שוללת את קיומם של האטומים –…
-
אקסיומת מרטין
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת מרטין:בתורת הקבוצות, אקסיומת מרטין היא אקסיומה שמבטיחה כי המודל יחסית סגור (במובן שיתואר בהמשך) תחת הפעלות של כפיות מסוימות. אקסיומות מהצורה הזו נקראות באופן כללי אקסיומות כפייה. אקסיומת מרטין, שהוצעה על ידי דונלד מרטין ורוברט סולוביי ב-1970, הייתה האקסיומה הראשונה מהצורה הזו, והוכחת העקביות שלה במסגרת ZFC היא דוגמה…
-
אקסיומת האיחוד
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת האיחוד:בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת האיחוד היא אקסיומה שמבטיחה שאיחוד האיברים של כל קבוצה הוא קבוצה. באופן פורמלי: ∀ A ∃ B ( ∀ x ( ∃ C ∈ A , x ∈ C ) ⟺ x ∈ B ) {\displaystyle \forall A\exists B(\forall x(\exists C\in A,\,x\in C)\iff x\in B)}…
-
אקסיומת ההפרדה
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת ההפרדה:בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמבטיחה שכל תת קבוצה ניתנת להגדרה של קבוצה היא גם קבוצה. באופן פורמלי, סכימת האקסיומות מורכבת מאקסיומה אחת עבור כל נוסחה עם פרמטרים בשפה מסדר ראשון של תורת הקבוצות שמבטיחה כי לכל קבוצה A יש קבוצה B שאיבריה הם בדיוק כל…
-
אקסיומת הבנייה
כל מה שרצית לדעת על אקסיומת הבנייה:אקסיומת הבנייה היא אקסיומה הטוענת, שכל קבוצה היא "בת-בנייה"; או בנוסח המקורי: שמחלקת הקבוצות היא מחלקת-הקבוצות בנות-הבנייה.מגמתה של האקסיומה זו – היא, "למזער-אונטולוגית" את מחלקת הקבוצות – עד למינימום – ולמעשה עד למחלקת-הקבוצות הנוצרת ממערכת אכסיומות צרמלו פרנקל לבדן. מובנה האינטואיטיבי של האקסיומה הוא אפוא, שכל קבוצה יכולה להיבנות…
-
עוצמת הרצף
כל מה שרצית לדעת על עוצמת הרצף:עוצמת הרצף היא העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, קרי . עוצמת הרצף מסומנת לרוב באות , וכן מקובלים גם הסימונים ו-לעוצמה זו. רעיון האלכסון של קנטור מאפשר להוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת ). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת…
-
הקבוצה הריקה
כל מה שרצית לדעת על הקבוצה הריקה:הקבוצה הריקה היא קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורבגית "Ø") או בצורה {}. במסגרת האקסיומות של תורת הקבוצות נכללת אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלא קיים עבורו . כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה. על-פי אקסיומת היחידות ניתן להוכיח את יחידות הקבוצה הריקה,…